本网讯（通讯员 孙中阳 李慧敏）2021年8月16日至8月20日由必威主办的哥德尔不完全性定理国际研讨会在线上成功举行。哥德尔1931年发表的不完全性定理对逻辑、哲学、数学、理论计算机科学等领域产生了广泛深刻的影响，本次研讨会旨在纪念哥德尔不完全性定理发表90周年，促进关于不完全性定理最新研究进展的学术交流。

本次研讨会共10个单元24场报告，由来自13个国家的国际老中青三代专家学者作报告，其中包括美国文理科学院Saul Aaron Kripke院士，俄罗斯科学院Lev D. Beklemishev院士，美国文理科学院Wilfried Sieg院士，美国俄亥俄州立大学数学、哲学、计算机科学杰出教授Harvey Friedman，英国利兹大学数学系Michael Rathjen教授,美国圣母大学数学系Julia F. Knight教授等国际知名逻辑学家和哲学家。此次研讨会由必威程勇教授、荷兰皇家人文与科学学院Albert Visser院士、比利时根特大学数学系Andreas Weiermann教授、新加坡国立大学数学系杨跃教授组织。

8月16日下午3点，武汉大学副校长唐其柱、必威院长李佃来、奥地利国际哥德尔协会执行副主席Matthias Baaz教授和荷兰皇家人文与科学学院Albert Visser院士参加研讨会开幕式并致辞。

唐其柱副校长致辞中指出，在哥德尔不完全性定理发表90周年之际举办国际专题研讨会具有重要的学术意义。唐副校长代表武汉大学欢迎来自不同国家的参会者，并预祝本次研讨会成为一场思想交流碰撞的学术盛会。

李佃来院长在致辞中指出不完全性定理在逻辑和哲学等领域产生了深远重要的影响，很荣幸必威主办了此次研讨会，并预祝会议圆满成功举行。

Matthias Baaz教授概括总结了哥德尔的学术贡献及不完全性定理的意义和影响，并代表国际哥德尔协会祝贺武汉大学主办此次研讨会并预祝会议圆满成功。

Albert Visser院士全面深刻的分析了当今不完全性定理研究的主要方向及其问题，并期待此次研讨会对这些问题的精彩讨论。最后，开幕式在一部关于武汉大学的英文视频中结束。

研讨会报告内容涵盖了关于不完全性研究的9个主题：不完全性的不同证明、不完全性与可证性逻辑、不完全性与自指、不完全性定理成立的限度、不完全性与可计算性理论、希尔伯特纲领与不完全性、不完全性与数学哲学、不完全性的内涵性、弱算术中的不完全性。报告在Zoom平台举行，每场报告均为1小时15分钟，其中主讲1小时，问答交流15分钟。来自海内外的老师和学生参加了线上研讨会。研讨会学术氛围浓厚，问答交流环节气氛活跃，讨论热烈。

研讨会第一单元于8月16日下午3点半开始，包含2场报告，由荷兰皇家人文与科学学院Albert Visser院士主持。

第一场报告由英国牛津大学哲学系Volker Halbach教授主讲：自指与元数学的内涵性。报告首先讨论内涵性在哲学上的重要性，之后探讨了元数学中的内涵性是什么，以及它与逻辑学中其他内涵性概念的关联。接着，Halbach教授讨论内涵性产生的根源，并重点探讨了三种来源：算术化方法、特征的表达方式、及自指构造。最后，报告总结了当前研究的现状及若干未解问题。

第二场报告由波兰华沙大学哲学系Stanislaw Krajewski教授主讲：不完全性定理的若干结论。报告讨论与不完全性定理相关的若干哲学问题，特别的重点讨论如下两个主题：基于不完全性定理的反机械主义论证，人类对自然数的理解能否编成计算机程序。作者详细分析并论证了基于不完全性定理的反机械主义论证并不成立，仅由不完全性定理无法逻辑地推出人类心智不是机器的结论。最后，Krajewski教授基于不完全性定理论证我们不能定义人类对自然数的理解。

研讨会第二单元于8月16日晚8点开始，包含2场报告，由比利时根特大学数学系Andreas Weiermann教授主持。

第三场报告由英国利兹大学数学系Michael Rathjen教授主讲：希尔伯特计划与半直觉主义。报告指出虽然哥德尔不完全性定理常被认为否定了希尔伯特纲领，然而希尔伯特的加入理想元素证明具体数学命题的方法，在一些情形中有成功的应用。特别的，在(半)直觉主义逻辑框架中，经典的非直谓原则可加入到理论中而不改变理论的保守性。Rathjen教授在直觉主义逻辑框架下证明了一些构造性集合理论的证明论强度。

第四场报告由美国俄亥俄州立大学数学系Harvey Friedman教授（俄亥俄州立大学数学、哲学、计算机科学杰出教授、最年轻的教授吉尼斯世界纪录的创造者、曾获“美国40岁以下顶尖100位科学家”荣誉称号）主讲：不完全性定理的若干方面。报告首先讨论了第一不完全性定理（G1）不同的一般形式。之后讨论了基于解释概念的第二不完全性定理（G2）的各种形式。接着，Friedman教授给出一个基于奇异集概念的关于G2的新证明。最后，Friedman教授介绍了自己在大基数假设下的具体不完全性的最新研究成果。

研讨会第三单元于8月17日上午9点开始，包含2场报告，主持人荷兰皇家人文与科学学院Albert Visser院士因时差不能参加，通过录制视频的方式介绍两位报告人：Juliet Floyd教授和Saul Aaron Kripke院士。现场由美国纽约城市大学杰出教授Sergei N. Artemov主持。

第五场报告由美国波士顿大学哲学系Juliet Floyd教授主讲：论早期维特根斯坦和哥德尔对“真”的理解。报告指出，哥德尔和早期维特根斯坦的工作在一定意义上都受到罗素关于“真”的理论的影响。 报告先介绍了罗素的真理论,之后探讨了哥德尔和维特根斯坦对罗素真理论的看法。Floyd教授分析了哥德尔和维特根斯坦之间对“真”概念的不同理解，并强调这种不同的理解在哲学上是可比较的。

第六场报告由美国纽约城市大学Saul Aaron Kripke教授（Schock Prize获得者、美国文理科学院院士、欧洲文理科学院院士、美国纽约城市大学杰出哲学教授）主讲：哥德尔定理的模型论方法。报告指出哥德尔不完全性定理的纯粹证明论证明方法是不同寻常的。通常证明命题A在理论T中不可证的方法是构造一个理论T的模型使得命题A在其中为假。人们较早知道哥德尔-贝奈斯集合论不能证明其有一个良基模型。通常人们认为很难将这一结论推广到算术理论，因算术的非标准模型不是良序的。Kripke教授指出这一困难是可以克服的，并给出不完全性定理的一个模型论版本。

研讨会第四单元于8月17日下午3点半举行，包含3场报告，由新加坡国立大学数学系杨跃教授主持。

第七场报告由伊朗大不里士大学数学系Saeed Salehi教授主讲：不完全性定理的一些不同证明。报告比较了Gödel , Rosser, Kleene, Chaitin, Boolos关于第一不完全性定理的不同证明方法，并研究这些不同的证明是否具有构造性特征和Rosser特征，及其与第二不完全性定理间的关系。

第八场报告由俄罗斯科学院Lev D. Beklemishev院士主讲：严格正定可证性逻辑:近期进展与未解问题。报告讨论命题模态逻辑的一个片段系统：严格正定可证性逻辑。报告指出，严格正定可证性逻辑以其有效性和充分的表达力，近年来引起了描述逻辑和可证性逻辑界的广泛关注。从证明论角度我们可有对严格正定可证性逻辑十分自然的不同解释。Beklemishev院士介绍了关于严格正定可证性逻辑的最新研究结果和这一领域中的未解问题。

第九场报告由美国圣母大学数学系Julia F. Knight教授 （圣母大学Charles L. Huisking数学教授）主讲：PA的完备化与KP集合论的ω模型。报告对比研究如下两种可计算的树结构：其路径表示一阶皮亚诺算术的完备化的可计算二叉树，其路径表示KP集合论的ω模型的完备图的可计算无穷分支树。Knight教授重点讨论这两种树的性质及其路径的可计算内容，并强调此研究与Gödel-Rosser第一不完全性定理证明方法间的关联。

研讨会第五单元于8月18日下午3点半举行，包含2场报告，由比利时根特大学数学系Andreas Weiermann教授主持。

第十场报告由比利时根特大学数学系Juan P. Aguilera博士主讲：理论的Pi^1_2结论。报告给出了理论T的Pi^1_2范数的范畴定义，这个范数在序数范畴中是个特殊的保持良基性的函子。报告证明了对于ACA_0的Pi^1_2-可靠的递归可枚举扩充而言，这个范数是良定义的，递归的，且可刻画理论T的所有Pi^1_2结论。

第十一场报告由比利时根特大学数学系David Fernandez-Duque教授主讲：当Ackermann遇见Goodstein。经典的古德斯坦过程是将自然数表示为2进制形式，然后迭代的增加基数再减一。 报告指出我们可通过用其他函数如阿克曼函数来表示自然数的方法来定义类似的过程。报告讨论了古德斯坦过程的阿克曼变体，并证明了自然数的表示方式与对应的过程的终止条件的证明论强度间的关联。

研讨会第六单元于8月18日晚8点举行，包含3场报告，由必威程勇教授主持。

第十二场场报告由美国卡内基梅隆大学哲学系Wilfried Sieg教授（美国文理科学院院士）主讲：AProS遇见哥德尔。报告的研究问题是：如何在自动证明系统中证明哥德尔不完全性定理。Sieg教授提出一种新的证明搜索系统AProS，并研究如何在AProS中给出不完全性定理的抽象证明。研究结果表明，使用系统AProS用户可构造不完全性定理及其相关定理的结构清晰的形式证明。

第十三场报告由美国康奈尔大学必威James Walsh博士主讲：论自然理论的层级。报告指出一个经验现象是不同的自然的公理化理论在一致性强度下是可被良序的。然而，我们没有一个对“自然”概念的精确数学定义，因此不清楚如何数学的研究这一经验现象。Walsh博士基于最近的研究进展提出一些策略去理解为何这些自然的理论是可被良序的。这些策略强调与递归论间的类比，及反射原则与序数分析间的关联。

第十四场报告由瑞典哥德堡大学哲学系Ali Enayat教授主讲：论紧密理论。称一阶理论T是紧密的，若T的任意两个在同一语言中不同的对演绎封闭的扩充都不是互可解释的。Albert Visser于2006年证明了PA是紧密的。Enayat教授于2016年证明了Z₂(二阶算术)、ZF和KM (Kelley-Morse类理论)是紧密的，并提出一猜想：PA、Z₂、ZF和KM的任意对演绎封闭的真子理论都不是紧密的。Enayat教授介绍了关于这一猜想的最新研究成果，为这一猜想的正确性提供部分证据。

研讨会第七单元于8月19日下午3点半举行，包含2场报告，由新加坡国立大学杨跃教授主持。

第十五场报告由日本神户大学系统信息研究所Taishi Kurahashi教授主讲：量词可证性逻辑间的包含关系。报告指出量词可证性逻辑在很大程度上依赖于基底理论及其定义方式。报告研究了量词可证性逻辑之间包含关系的若干结论，发现这种包含关系在极少情形下成立。此外，根据理论的Σ₁算术解释，报告给出量词可证性逻辑之间包含关系的一个充要条件。

第十六场报告由德国洪堡大学计算机系Balthasar Grabmayr博士主讲：向元数学结果的绝对版本迈进。报告指出在第二不完全性定理（G2）的数学表述和在哲学讨论中用到的非形式版本间存在间隙。为填补此间隙，我们需要研究G2成立的条件。报告研究G2是否成立与语法系统和编码方法的选取间的关联。 报告给出可容的语法系统及可容的编码方法的定义，并证明在可容的语法系统及编码方法下，G2是成立的；但在不可容的语法系统及编码方法下，G2可能不成立。

研讨会第八单元于8月19日晚8点举行，包含3场报告，由比利时根特大学数学系Andreas Weiermann教授主持。

第十七场报告由德国达姆施塔特工业大学数学系Anton Freund博士主讲：没有计算强度的独立性。报告研究这样一个问题：是否所有关于自然数的全称命题都是在PA中可证的。虽然哥德尔不完全性定理提供了这个问题的否定答案，但在纯数学领域中我们很少有这样的反例。报告中Freund博士基于Kruskal定理提出了一个新的经典数学中的独立性命题，与数学中其他已知的独立性命题相比，此新命题具有不同的性质。

第十八场报告由奥地利维也纳科技大学数学系Matthias Baaz教授主讲：不完全性与一致性证明。报告先分析了不完全性和一致性问题的起源及其技术背景，探讨为何希尔伯特学派确信肯定的答案是可能的。Baaz教授探讨希尔伯特学派使用epsilon演算和Herbrand定理给出一致性证明的工作，并解释若从另一个角度来看，希尔伯特学派的一致性证明是如何能提供有价值的信息。

第十九场报告由比利时根特大学数学系Fedor Pakhomov博士主讲：第二不完全性定理的一般无参数形式。 此报告的研究动机是找到第二不完全性定理的一般抽象形式。Visser证明了：不存在连续的有穷可公理化理论T使得T可解释其直谓概括理论PC(T).一个未解问题是：此定理中的连续性条件能否去掉。报告中回答了这一问题，给出了一个更具普遍性的结果：不存在有穷可公理化的理论T使得T可一维的解释PC (T)。

研讨会第九单元于8月20日下午3点半举行，包含2场报告，由必威程勇教授主持。

第二十场报告由德国波鸿鲁尔大学哲学系Sam Sanders博士主讲：两个关于哥德尔的主题。报告讨论数理逻辑中两个继承了哥德尔遗产的主题。首先，报告指出基于二阶算术的反推数学的编码方法是有缺陷的，之后报告构造了高阶算术的模型使得在其中实数集是可数集，并基于高阶反推数学提出了两个基于可数性的新系统。最后，报告讨论了此研究在数学基础和物理学中的意义。

第二十一场报告由芬兰赫尔辛基大学数学与统计系Juliette C. Kennedy教授主讲：哥德尔与范围问题：从不完全性到可构成性。哥德尔曾提出我们能否发展一个绝对的可定义性概念。在哥德尔可构成集L的定义中，我们是在一阶逻辑中定义了“可定义性”这一概念。一个自然的问题是：若在可构成集L的定义中，我们改变基底逻辑，不使用一阶逻辑而使用其他的逻辑，我们是否仍可得到L？报告讨论了关于这一问题的最新研究进展。

研讨会第十单元于8月20日晚8点举行，包含3场报告，由荷兰皇家人文与科学学院Albert Visser院士主持。

第二十二场报告由西班牙巴塞罗那大学哲学系Joost J. Joosten教授主讲：不完全性的极小逻辑。报告首先介绍与不完全性定理紧密相关的两种逻辑：可证性逻辑与解释性逻辑。之后讨论与不完全性定理扩充形式对应的多元可证性逻辑， 最后讨论刻画不完全性的某种意义上的极小逻辑，并报告了关于严格正定可证性逻辑的最新研究进展。

第二十三场报告由捷克科学院Emil Jerabek教授主讲：层级有界集。Vaught集合论VS是已知的最为简单的实质不可判定理论之一。但VS的有限片段理论VS_k不是实质不可判定的。我们已知的VS_k的可判定的扩充具有很不自然的特征：如与外延性公理不兼容。报告研究VS的有限片段理论VS_k的性质及其复杂性， 给出VS_k的一个具体的可判定的完备化，并证明其具有很多自然的特征。

第二十四场报告由捷克科学院的Pavel Pudlak教授主讲：弱算术的不完全性定理及其几个强化形式。报告首先讨论第二不完全性定理（G2）的加强形式，之后讨论弱算术理论的第二不完全性定理，接着讨论有限版本的第二不完全性定理，最后Pudlak教授讨论了有限版本G2的一些应用。

8月20日晚12点，必威程勇教授对本次研讨会进行了回顾与总结，并对主办方必威、4位开场致辞人、报告人带来的高水平精彩报告及参会者在讨论环节的积极参与表达诚挚的感谢。至此，为期5天的哥德尔不完全性定理国际线上研讨会圆满落下帷幕。

（编辑：邓莉萍 审稿：严璨）